Viết Phương Trình Mặt Phẳng Đi Qua 3 Điểm, Viết Phương Trình Mặt Phẳng Trong Không Gian Oxyz

Viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz hay viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm là những dạng toán quan trọng trong chương trình toán học THPT. Trong nội dung bài viết dưới đây, bocdau.com sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề viết phương trình mặt phẳng trong không gian, cùng tìm hiểu nhé!

Mục lục

1 Phương trình mặt phẳng trong không gian3 Các dạng bài viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz

Phương trình mặt phẳng trong không gian

Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian Oxyz

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong không gian Oxyz có dạng:

Ax + By + Cz + D = 0 với (A^{2}+B^{2}+C^{2}> 0)

Muốn viết phương trình mặt phẳng trong không gian ta cần xác định được 2 dữ kiện:

Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

*

Cho 2 mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 thì:

Hai mặt phẳng cắt nhau khi và chỉ khi: (frac{A}{A’}
eq frac{B}{B’}
eq frac{C}{C’})

Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi: (frac{A}{A’} = frac{B}{B’} = frac{C}{C’}
eq frac{D}{D’})

Hai mặt phẳng trùng nhau khi và chỉ khi: (frac{A}{A’} = frac{B}{B’} = frac{C}{C’} = frac{D}{D’})

Hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi: (AA’ + BB’ + CC’ = 0)

Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng

Cho điểm M(a, b, c) và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0.

Đang xem: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm

Khi đó khoảng cách từ điểm M tới (P) được xác định như sau:

(d(A, (P)) = frac{left | Aa + Bb + Cc + D
ight |}{sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}})

Tổng kết lý thuyết viết phương trình mặt phẳng trong không gian

*

Các dạng bài viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) biết 1 điểm thuộc mặt phẳng và vector pháp tuyến

Vì mặt phẳng (P) đi qua điểm (M(x_{0}; y_{0}; z_{0}))

Mặt phẳng (P) có vector pháp tuyến (vec{n}(A, B, C))

Khi đó phương trình mặt phẳng (P): (A(x-x_{0}) + B(y-y_{0}) + C(z-z_{0}) = 0)

*

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M (3;1;1) và có VTPT (vec{n} = (1; -1; 2))

Cách giải:

Thay tọa độ điểm M và VTPP (vec{n}) ta có:

(P): ((1)(x – 3) + (-1)(y – 1) + 2(z – 1) = 0 Leftrightarrow x – y + 2z – 4 = 0)

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm không thẳng hàng

Vì mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A, B, C. Nên mặt phẳng (P) có 1 cặp vector chỉ phương là (vec{AB} ; vec{AC})

Khi đó ta gọi (vec{n}) là một vector pháp tuyến của (P), thì (vec{n}) sẽ bằng tích có hướng của hai vector (vec{AB}) và (vec{AC}). Tức là (vec{n} = left < vec{AB};vec{AC} ight >)

*

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm không thẳng hàng A(1,1,3); B(-1,2,3); C(-1;1;2)

Cách giải:

Ta có: (vec{AB} = (-2;1;0); vec{AC} = (-2,0,-1) Rightarrow left < vec{AB},vec{AC} ight > = (-1,-2,2))

Suy ra mặt phẳng (P) có VTPT là (vec{n} = left < vec{AB},vec{AC} ight > = (-1,-2,2)) và đi qua điểm A(1,1,3) nên có phương trình:

((-1)(x – 1) – 2(y – 1) + 2(z – 3) = 0Leftrightarrow -x – 2y + 2z – 3 = 0)

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và song song với 1 mặt phẳng khác

Mặt phẳng (P) đi qua điểm (M(x_{0}; y_{0}; z_{0})) và song song với mặt phẳng (Q): Ax + By + Cz + m =0

Vì M thuộc mp(P) nên thế tọa độ M và pt (P) ta tìm được M.

Khi đó mặt phẳng (P) sẽ có phương trình là:

(A(x – x_{0}) + B(y – y_{0}) + C(z – z_{0}) = 0)

Chú ý: Hai mặt phẳng song song có cùng vector pháp tuyến.

Xem thêm: Giải Bài Tập Lưu Hoằng Trí Lớp 8 Chương Trình Cũ, Đáp Án Bài Tập Tiếng Anh 8 Lưu Hoằng Trí

Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1;-2;3) và song song với mặt phẳng (Q): 2x – 3y + z + 5 = 0

Cách giải:

Vì (P) song song với (Q) nên VTPT của (P) cùng phương với VTPT của (Q).

Suy ra (P) có dạng: 2x – 3y + z + m = 0

Mà (P) đi qua M nên thay tọa độ M (1;-2;3) ta có:

(2.1 + (-3).(-2) + 3 + m = 0 Leftrightarrow m = -11)

Vậy phương trình (P): 2x – 3y + z – 11 = 0

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 đường thẳng và 1 điểm cho trước

Mặt phẳng (P) đi qua điểm (M(x_{0}; y_{0}; z_{0})) và đường thẳng d.

Xem thêm: Tổng Hợp Bộ Giáo Trình Luật Dân Sự Đại Học Luật Tp Hcm, Giáo Trình Luật Dân Sự

Lấy điểm A thuộc đường thẳng d ta tìm được vector (vec{MA}) và VTCP (vec{u}), từ đó tìm được VTPT (2.1 vec{n} = left < vec{MA};vec{u} ight >).

Thay tọa độ ta tìm được phương trình mặt phẳng (P)

Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (3;1;0) và đường thẳng d có phương trình: (frac{x – 3}{-2} = frac{y + 1}{1} = frac{z + 1}{1})

Cách giải:

Lấy điểm A (3;-1;-1) thuộc đường thẳng d.

Suy ra (vec{MA} (0; -2; -1)) và VTCP (vec{u} (-2; 1; 1))

Mặt phẳng (P) chứa d và đi qua M nên ta có VTPT: (vec{n} = left < vec{MA};vec{u} ight > = (-1; 2; 4))

Vậy phương trình mặt phẳng (P): (-1(x – 3) + 2(y – 1) – 4z = 0Leftrightarrow -x + 2y – 4z + 1 = 0)

Viết một bình luận