Phương Trình Lagrange

Bậc tự do (degrees of freedom): là số đại lượng độc lập cần để xác định một cách đơn trị vị trí của hệ cơ học. Ví dụ, một hạt bay trong không gian 3 chiều thì có số bậc tự do là 3, hệ gồm N hạt như vậy thì số bậc tự do là 3N. Một ví dụ khác, một cái quả tạ bay trong không trung, 1 đầu tạ là tự do, nhưng đầu còn lại thì ko hoàn toàn độc lập, nó liên hệ với đầu kia theo công thức khoảng cách Thay các biểu thức đó vào điều kiện bất biến của hàm Lagrange trong phép quay ta có:

*

+ \frac{\partial{L}}{\partial{\vec{v_a}}} \big< \delta{\vec{\varphi}} \times \vec{v_a} \big> \bigg) = 0 ” class=”latex” />

Thay

*

*

vào biểu thức trên ta được:

*

+ \vec{p_a} \big< \delta{\vec{\varphi}} \times \vec{v_a} \big> \Big) = 0 ” class=”latex” />

Làm phép giao hoán đối với tích hỗn hợp (a * = x c = b x ) ta thu được:

*

+ \sum_a \delta{\vec{\varphi}} \big< \vec{v_a} \times \vec{p_a} \big> = \delta{\vec{\varphi}} \, \sum_a \Big( \big< \vec{r_a} \times \dot{\vec{p_a}} \big> + \big< \dot{\vec{r_a}} \times \vec{p_a} \big> \Big) = \newline = \delta{\vec{\varphi}} \, \frac{d}{dt} \sum_a \big< \vec{r_a} \times \vec{p_a} \big> = 0 ” class=”latex” />

Vì vector yếu tố góc

*

chọn tuỳ ý nên phần còn lại:

*

= 0 ” class=”latex” />

suy ra đại lượng

*

” class=”latex” /> không bị thay đổi theo thời gian, hay nói cách khác, ta gọi

*

là moment xung lượng, được bảo toàn.

Moment xung lượng phụ thuộc vào r, vậy thay đổi hệ quy chiếu đi, tức là các vector bán kính cộng thêm vector khoảng cách

*

, ta xem moment xung lượng thay đổi như thế nào. Thay

*

vào biểu thức

*

ta rút ra:

*

” class=”latex” />

Tương tự xem xét một hệ quy chiếu khác chuyển động đều, tức là

*

, ta cũng rút ra:

*

” class=”latex” />

Viết một bình luận