Tổng hợp công thức phương trình đường thẳng trong không gian cực hay
Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
I. Phương trình đường thẳng
+ Cho đường thẳng Δ đi qua điểm và nhận vectơ làm vectơ chỉ phương. Khi đó Δ có phương trình tham số là :
+ Cho đường thẳng Δ đi qua điểm và nhận vectơ sao cho a.b.c ≠ 0 làm vectơ chỉ phương. Khi đó Δ có phương trình chính tắc là :
II. Góc
1. Góc giữa hai đường thẳng:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng d1; d2. Trong đó:
· Đường thẳng d1 vectơ chỉ phương u1→
· Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương u2→
· Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 được xác định bởi:
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d và mặt phẳng (P). Trong đó:
· Đường thẳng d có vecto chỉ phương u→
· Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là n→
· Gọi φ là góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó ,ta có:
III. Khoảng cách:
1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua điểm M0( x0; y0; z0) và có vecto chỉ phương u→.
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là:
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2. Trong đó:
·Đường thẳng d1 đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương u1→
· Đường thẳng d2 đi qua điểm N và có vectơ chỉ phương u2→
·Khoảng cách hai đường thẳng d1 và d2 là:
Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d biết d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương u→ = (a; b; c)
1. Phương pháp giải
Nếu đường thẳng d đi qua điểm M(xo; yo; zo) và vecto chỉ phương u→ ( a; b; c) thì
+ Phương trình tham số của đường thẳng d:
+ Phương trình chính tắc của đường thẳng d ( với a.b.c ≠ 0 ) là:
* Chú ý:
+ Nếu đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (α) thì vectơ chỉ phương của đường thẳng d cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) vì d ⊥(α)
+ Nếu đường thẳng d// ∆ thì đường thẳng d nhận vecto ud→ = uΔ→ làm vecto chỉ phương .
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho đường thẳng ∆ biết ∆ đi qua A (2 ; 1 ; 5) và có vectơ chỉ phương u→=(1;1;2). Tìm mệnh đề đúng
A. Phương trình chính tắc của đường thẳng d:
B. Phương trình tham số của đường thẳng d:
C. Phương trình tham số của đường thẳng d:
D. Phương trình chính tắc của đường thẳng d:
Hướng dẫn giải:
Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là:
Trong đó t là tham số
Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là:
Chọn B.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ∆ đi qua A(1;0; -1) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x – y + z + 9 = 0. Tìm mệnh đề đúng?
A. Vậy phương trình tham số của ∆ là
B. Phương trình chính tắc của ∆ là
C. Vậy phương trình tham số của ∆ là:
D. Phương trình chính tắc của ∆ là
Hướng dẫn giải:
Vì đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (α) nên vectơ chỉ phương của ∆ là:
u∆→ = nα→ = (2; -1;1)
Vậy phương trình tham số của ∆ là
Phương trình chính tắc của ∆ là
Chọn A.
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng d biết d đi qua A (1; 2; 3) và song song với (d’): . Tìm mệnh đề sai
A. Một vecto chỉ phương của đường thẳng d là u→ ( -4; 4; 2)
B. Vậy phương trình tham số của d là
C. Phương trình chính tắc của d là
D. đường thẳng d không có phương trình chính tắc
Hướng dẫn giải:
Vì đường thẳng d // d’ nên vectơ chỉ phương của d là: ud→ = ud’→ = ( 2; -2; -1)
Vậy phương trình tham số của d là
Phương trình chính tắc của d là
Chọn D.
Dạng 2.Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q) hoặc đường thẳng d đi qua M và song song với 2 mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q).
1. Phương pháp giải
Cách 1:
+ Cả hai trường hợp đều suy ra ud→⊥nP→ và ud→⊥nQ→
Mà (P) và (Q) cắt nhau nên VTCP của d là ud→⊥ [nP→; nQ→]
+ Tìm một điểm M thuộc đường thẳng d.
+ Đường thẳng d đi qua M và nhận vecto ud→⊥ [nP→; nQ→] làm vecto chỉ phương
=> phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
Cách 2:
Nếu d là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q) thì với mỗi điểm
M ( x; y;z) thuộc d là nghiệm của hệ phương trình:
phương trình (P) và Phương trình (Q) (*)
Đặt x= t ( hoặc y = t hoặc z = t) thay vào hệ (*) rồi rút y; z theo t
Từ đó suy ra phương trình của đường thẳng d.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): x- 3y + z = 0 và (α’): x+y – z +4 = 0. Viết phương trình tham số của đường thẳng d
Hướng dẫn giải:
Ta tìm một điểm thuộc đường thẳng d bằng cách cho y = 0 trong hệ (*)
Ta có hệ
Vậy điểm Mo( -2; 0; 2) thuộc đường thẳng d.
Do uα→ ( 1;-3; 1); n’α→( 1; 1; -1)
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u→(1;1;2)
Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u→(1; 1;2)
Vậy phương trình tham số của d là:
Chọn C.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d là giao tuyến của mặt phẳng (P): y – 2z + 3 = 0 và mặt phẳng tọa độ (Oyz).
Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là (1; 1;2)
Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng (Oyz) có phương trình x= 0
Điểm M (x; y; z)∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
Đặt z= t ta được: là phương trình đường thẳng d
Chọn A.
Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M, song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d’ (d’ không vuông góc với (P)).
1. Phương pháp giải
Do đường thẳng song song với mặt phẳng ( P) và vuông góc với đường thẳng d’ nên
Suy ra ud→⊥nP→ và ud→⊥ ud’→
Mà d’ không vuông góc với (P)
Nên VTCP của d là ud→ = [nP→;ud’→]
+ Đường thẳng d đi qua điểm M( đã biết) và nhận vecto ud→ làm vecto chỉ phương
=> phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (1; 2; -1), song song với mặt phẳng (P): x + y – z = 3 và vuông góc với đường thẳng d’:
Hướng dẫn giải:
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là nP→(1; 1; -1)
Vecto chỉ phương của đường thẳng d’ là: ud’→(1; 3; 2)
Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d’ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: u→ = [nP→; ud’→] =( 5; -3; 2)
d đi qua điểm M (1; 2; -1)
Vậy phương trình đường thẳng d là
Chọn B.
Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (0; 1; 2), song song với mặt phẳng (Oxy) và vuông góc với đường thẳng
Hướng dẫn giải:
Phương trình mặt phẳng (Oxy) là: z= 0; vecto pháp tuyến của mặt phẳng này là nOxy→(0; 0; 1)
Vecto chỉ phương của đường thẳng d’ là ud’→(1; -2; 1)
Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (Oxy) và vuông góc với đường thẳng d’ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: u→ = [ud’→;nOxy→] = ( 2; 1; 0)
d đi qua điểm M (0; 1; 2)
Vậy phương trình đường thẳng d là
Chọn C.
Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng d đi qua một điểm M; nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng ∆ (hoặc song song với mặt phẳng (Q) ).
1. Phương pháp giải
+ Tìm vecto chỉ phương của đường thẳng ∆: u∆→
+ Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q): nP→; nQ→
+ Trong cả hai trường hợp ta đều có một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:
u→ = [u∆→; nP→] hoặc [nP→; nQ→]
+ Khi đó; đường thẳng d: đi qua điểm M và có vecto chỉ phương u→
=> phương trình đường thẳng d:
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ∆: và mặt phẳng (P): x- 2y+ 3z+ 10 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M( 1; -1; 1); nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng ∆?
Hướng dẫn giải:
+ Đường thẳng ∆ có vecto chỉ phương u∆→( 1; 2; -1)
Mặt phẳng ( P) có vecto pháp tuyến n→( 1; -2; 3).
+ Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng ∆ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:
u→ = [u∆→; n→] = ( 4; – 4; – 4) chọn ( 1; -1; -1) .
=> Phương trình đường thẳng d cần tìm
Chọn B.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ∆ : và mặt (P): x+ 2y – 3z+ 4= 0. Phương trình tham số của đường thẳng d nằm trong (P) , cắt và vuông góc đường thẳng ∆ là:
Hướng dẫn giải:
+ Tìm giao điểm M của ∆ và mặt phẳng ( P):
Điểm M( – 2+ t; 2+ t;- t) thuộc ∆.
Thay tọa độ M vào phương trình (P) ta được:
– 2+ t+ 2(2+ t) – 3( – t) + 4= 0 ⇔ – 2+ t + 4 + 2t + 3t + 4= 0
⇔ 6t+ 6= 0 nên t= -1 => M ( – 3; 1; 1)
+ Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến uP→( 1; 2;-3)
+ Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương u∆→( 1; 1; -1)
+ Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P)và vuông góc với đường thẳng ∆ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là : u→=[nP→;u∆→] = (1; -2; -1)
+ Đường thẳng d đi qua điểm M( -3; 1; 1) và có vectơ chỉ phương là u→ = (1; -2; -1)
Vậy phương trình tham số của d là:
Chọn B.
Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có vecto chỉ phương u
- Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
- Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng
- Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với đường thẳng
- Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng
Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com
- Hơn 75.000 câu trắc nghiệm Toán có đáp án
- Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Hóa có đáp án chi tiết
- Gần 40.000 câu trắc nghiệm Vật lý có đáp án
- Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Tiếng Anh có đáp án
- Kho trắc nghiệm các môn khác