Giải Bài Tập Xác Suất Thống Kê Chương 3, Bài Giải Xác Suất Thống Kê Chương 3

Tài liệu tham khảo Bài tập xác suất thống kê có các bài giải hay nhất dành cho các bạn sinh viên,có đầy đủ các dạng bài tập giúp cho các bạn có thêm nhiều kiến thức giải các bài tập.

Đang xem: Giải bài tập xác suất thống kê chương 3

*

BAØI GIAÛI vì trong n = 100 con coù m = 10 + 10 + 10 = 30 con coù troïng löôïng töø 60kg trôû leân, nghóa laø coù 30 con ñaït tieâu chuaån. XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ (GV: Traàn Ngoïc Hoäi – 2009) a) Öôùc löôïng troïng löôïng trung bình cuûa loaïi vaät nuoâi treân vôùi ñoä tin caäy 96%. CHÖÔNG 3 Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μ = M(X) vôùi ñoä tin caäy γ = 1- α = 96% = 0,96. LYÙ THUYEÁT MAÃU VAØ ÖÔÙC LÖÔÏNG Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng: S S Baøi 3.1. Ñeå khaûo saùt troïng luôïng X cuûa moät loaïi vaät nuoâi trong noâng traïi, (X − zα ; X + zα ), n n ngöôøi ta quan saùt moät maãu vaø coù keát quûa sau: trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,96/2 = 0,48. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta X(kg) 36 42 48 54 60 66 72 ñöôïc zα = 2,06. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø: Soá con 15 12 25 18 10 10 10 11, 0608 11, 0608 a) Öôùc löôïng troïng löôïng trung bình cuûa loaïi vaät nuoâi treân vôùi ñoä tin caäy (51, 96 − 2, 06 ; 51, 96 + 2, 06 ) = (49, 68; 54, 24). 100 100 96%. Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 96%, troïng löôïng trung bình cuûa moät con b) Vôùi ñoä tin caäy 95%, troïng löôïng trung bình toái ña cuûa loaïi vaät nuoâi naèm trong khoaûng töø 49,68kg ñeán 54,24kg. treân laø bao nhieâu? Toái thieåu laø bao nhieâu? c) Nhöõng con vaät coù troïng löôïng töø 60kg trôû leân ñöôïc goïi laø nhöõng con b) Vôùi ñoä tin caäy 95%, troïng löôïng trung bình toái ña cuûa loaïi vaät nuoâi “ñaït tieâu chuaån”. Haõy öôùc löôïng tæ leä con ñaït tieâu chuaån vôùi ñoä tin caäy treân laø bao nhieâu? Toái thieåu laø bao nhieâu? 95%. Ta coù ñoä tin caäy γ = 1 – α = 95% = 0,95 (α = 0,05). d) Neáu muoán öôùc löôïng tæ leä con ñaït tieâu chuaån vôùi ñoä tin caäy 99% vaø ñoä – Ñeå bieát troïng löôïng trung bình toái ña cuûa loaïi vaät nuoâi treân laø bao chính xaùc 10% thì caàn phaûi ñieàu tra theâm bao nhieâu con vaät nöõa? nhieâu ta caàn öôùc löôïng khoaûng beân traùi cho kyø voïng μ = M(X). e) Vôùi ñoä tin caäy 90%, tæ leä con ñaït tieâu chuaån toái ña cuûa loaïi vaät nuoâi Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc öôùc löôïng treân laø bao nhieâu? Toái thieåu laø bao nhieâu? khoaûng beân traùi cho kyø voïng: S (−∞; X + z2α ), Lôøi giaûi n Ta coù: trong ñoù ϕ(z2α) = (1- 2α)/2 = (1- 2.0,05)/2 = 0,90/2 = 0,45. Tra baûng giaù n = 100; ∑X n i i =5196; ∑X i 2 n i = 282096. trò haøm Laplace ta ñöôïc z2α = 1,65. Suy ra troïng löôïng trung bình toái ña • Kyø voïng maãu cuûa X laø laø: 1 S 11, 0608 X= n ∑ X in i = 51, 96(kg). X + z2 α n = 51, 96 + 1, 65 100 = 53,7850(kg) . • Phöông sai maãu cuûa X laø: Vaäy vôùi ñoä tin caäy 95%, troïng löôïng trung bình toái ña cuûa loaïi vaät nuoâi 2 1 treân laø 53,7850kg. S = ∑ X i 2n i − X 2 =(11, 0054)2 (kg 2 ). n – Ñeå bieát troïng löôïng trung bình toái thieåu cuûa loaïi vaät nuoâi treân laø bao • Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa X laø: nhieâu ta caàn öôùc löôïng khoaûng beân phaûi cho kyø voïng μ = M(X). n 2 S2 = S = (11, 0608)2 (kg 2 ). Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc öôùc löôïng n −1 khoaûng beân traùi cho kyø voïng: • Tæ leä maãu con ñaït tieâu chuaån laø S m 30 (X − z2α ; +∞) , Fn = = = 0, 3 n n 100 trong ñoù z2α = 1,65. Suy ra troïng löôïng trung bình toái thieåu laø: 1 2Printed with FinePrint trial version – purchase at www.fineprint.com S 11, 0608 Ta coù ñoä tin caäy γ = 1 – α = 90% = 0,90 (α = 0,1). X − z2α = 51, 96 − 1, 65 = 50,1350(kg) . n 100 – Ñeå bieát tæ leä toái ña con ñaït tieâu chuaån cuûa loaïi vaät nuoâi treân laø bao Vaäy vôùi ñoä tin caäy 95%, troïng löôïng trung bình toái thieåu cuûa loaïi vaät nuoâi nhieâu ta caàn öôùc löôïng khoaûng beân traùi cho tæ leä p con ñaït tieâu chuaån. treân laø 50,1350kg. Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng beân traùi cho tæ leä p : Fn (1 − Fn ) (−∞; Fn + z2α ), c) Nhöõng con vaät coù troïng löôïng töø 60kg trôû leân ñöôïc goïi laø nhöõng con n “ñaït tieâu chuaån”. Haõy öôùc löôïng tæ leä con ñaït tieâu chuaån vôùi ñoä tin caäy trong ñoù ϕ(z2α) = (1- 2α)/2 = 0,80/2 = 0,40. Tra baûng giaù trò haøm Laplace 95%. ta ñöôïc z2α = 1,28. Suy ra tæ leä toái ña con ñaït tieâu chuaån laø: Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho tæ leä p con ñaït tieâu chuaån vôùi ñoä Fn (1 − Fn ) 0, 3(1 − 0, 3) Fn + z2α = 0, 3 + 1, 28 = 0, 3587 . tin caäy γ = 1- α = 95% = 0,95. Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng : n 100 Vaäy vôùi ñoä tin caäy 90%, tæ leä toái ña con ñaït tieâu chuaån cuûa loaïi vaät nuoâi Fn (1 − Fn ) F (1 − Fn ) treân laø 35,87%. (Fn − zα ; Fn + zα n ), n n – Ñeå bieát tæ leä toái thieåu con ñaït tieâu chuaån cuûa loaïi vaät nuoâi treân laø bao trong ñoù ϕ (zα) = γ /2 = 0,95/2 = 0,475. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta nhieâu ta caàn öôùc löôïng khoaûng beân phaûi cho tæ leä p con ñaït tieâu chuaån. ñöôïc zα = 1,96. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø: Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng beân phaûi cho tæ leä p: 0, 3(1 − 0, 3) 0, 3(1 − 0, 3) Fn (1 − Fn ) (0, 3 − 1, 96 ; 0, 3 + 1, 96 ) = (21, 02%; 38, 98%). (Fn − z2α ; +∞) , 100 100 n Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 95%, tæ leä con ñaït tieâu chuaån naèm trong trong ñoù z2α = 1,28. Suy ra tæ leä toái thieåu con ñaït tieâu chuaån laø: khoaûng töø 21,02% ñeán 38,98%. Fn (1 − Fn ) 0, 3(1 − 0, 3) Fn − z2α = 0, 3 − 1, 28 = 0, 2413. n 100 d) Neáu muoán öôùc löôïng tæ leä con ñaït tieâu chuaån vôùi ñoä tin caäy 99% vaø ñoä Vaäy vôùi ñoä tin caäy 90%, tæ leä toái thieåu con ñaït tieâu chuaån cuûa loaïi vaät nuoâi chính xaùc 10% thì caàn phaûi ñieàu tra theâm bao nhieâu con vaät nöõa? treân laø 24,13%. Ñaây laø baøi toaùn xaùc ñònh côõ maãu khi öôùc löôïng tæ leä con ñaït tieâu chuaån vôùi ñoä chính xaùc ε = 10% = 0,1 vaø ñoä tin caäy γ = 1- α = 99% = 0,99. Baøi 3.2. Caân thöû 100 traùi quít cuûa moät vöôøn, ta coù baûng keát quaû sau: Ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng: X(g) 40 50 60 70 80 90 100 110 Fn (1 − Fn ) Soá traùi 3 10 12 15 28 16 11 5 ε = zα , trong ñoù X chæ troïng löôïng (ñôn vò tính gam). n trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,99/2 = 0,495. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta a) Haõy öôùc löôïng troïng löôïng trung bình cuûa moät traùi quít trong vöôøn quít ñöôïc zα = 2,58. Suy ra treân vôùi ñoä tin caäy 94%. z2 Fn (1 − Fn ) b) Nhöõng traùi quít coù troïng löôïng X > 75g laø traùi loaïi I. Haõy öôùc löôïng tæ n= α leä traùi loaïi I trong vöôøn quít treân vôùi ñoä tin caäy 95%. ε2 Thöïc teá yeâu caàu: c) Nhöõng traùi quít coù troïng löôïng X 100 (100 laø côõ maãu ñang coù) neân ta caàn ñieàu tra theâm ít nhaát laø Lôøi giaûi 140 -100 = 40 con vaät nöõa. Ta coù: n = 100; ∑X n i i =7720; ∑X i 2 n i = 625800. e) Vôùi ñoä tin caäy 90%, tæ leä con ñaït tieâu chuaån toái ña cuûa loaïi vaät nuoâi • Kyø voïng maãu cuûa X laø treân laø bao nhieâu? Toái thieåu laø bao nhieâu? 3 4Printed with FinePrint trial version – purchase at www.fineprint.com 1 Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 95%, tæ leä traùi loaïi I töø 50,40% ñeán 69,60%. X= n ∑ X in i = 77, 2(g). • Phöông sai maãu cuûa X laø: c) Nhöõng traùi quít coù troïng löôïng X 75g laø traùi loaïi I. Haõy öôùc löôïng tæ vaø α = 1 – γ = 1 – 0,99 = 0,01. Tra baûng phaân phoái Student ta ñöôïc k leä traùi loaïi I trong vöôøn quít treân vôùi ñoä tin caäy 95%. tα = 2,797 . Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø: Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho tæ leä p caùc traùi loaïi I vôùi ñoä tin 7 7 (53, 6 − 2, 797 ; 53, 6 + 2, 797 ) = (49, 68; 57, 52). caäy γ = 1- α = 95% = 0,95. 25 25 Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng: Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 99%, troïng löôïng trung bình cuûa moät traùi Fn (1 − Fn ) F (1 − Fn ) quít loaïi III töø 49,68g ñeán 57,52g. (Fn − zα ; Fn + zα n ) n n trong ñoù ϕ(zα) = (1- α)/2 = γ /2 = 0,95/2 = 0,475. Tra baûng giaù trò haøm Baøi 3.3. Ñeå khaûo saùt chæ tieâu X cuûa moät loaïi saûn phaåm cuûa xí nghieäp I, Laplace ta ñöôïc zα = 1,96. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø: ngöôøi ta quan saùt moät maãu trong kho vaø coù keát quûa sau: X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 0, 6(1 − 0, 6) 0, 6(1 − 0, 6) Soá sphaåm 8 9 20 16 16 13 18 (0, 60 − 1, 96 ; 0, 60 + 1, 96 ) = (50, 40%; 69, 60%) 100 100 5 6Printed with FinePrint trial version – purchase at www.fineprint.com a) Öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X cuûa loaïi saûn phaåm treân a) Öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X cuûa loaïi saûn phaåm treân vôùi ñoä tin caäy 96%. vôùi ñoä tin caäy 96%. b) Neáu öôùc löôïng GTTB cuûa X vôùi ñoä chính xaùc 1,8cm thì seõ ñaït ñöôïc Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μ = M(X) vôùi ñoä tin caäy ñoä tin caäy laø bao nhieâu? γ = 1- α = 96% = 0,96. c) Neáu öôùc löôïng GTTB cuûa X vôùi ñoä chính xaùc 1,5cm vaø ñoä tin caäy Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng 99% thì phaûi ñieàu tra theâm ít nhaát bao nhieâu saûn phaåm nöõa? cho kyø voïng: d) Nhöõng saûn phaåm coù chæ tieâu X töø 19cm trôû xuoáng ñöôïc goïi laø nhöõng S S (X − zα ; X + zα ) saûn phaåm loaïi B. Öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X cuûa nhöõng n n saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä tin caäy 98% (GS X coù phaân phoái chuaån). trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,96/2 = 0,48. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta e) Haõy öôùc löôïng tæ leä saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä tin caäy 92%. Baûng soá lieäu ñöôïc zα = 2,06. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø: treân ñöôïc choïn ngaãu nhieân töø moät kho trong ñoù coù 1000 saûn phaåm loaïi B. 7, 4827 7, 4827 (26, 36 − 2, 06 ; 26, 36 + 2, 06 ) = (24, 82; 27, 90). Haõy öôùc löôïng soá saûn phaåm trong kho vôùi ñoä tin caäy 92%. 100 100 f) Neáu öôùc löôïng tæ leä nhöõng sp loaïi B vôùi ñoä chính xaùc 6% thì seõ ñaït Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 96%, giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X naèm ñöôïc ñoä tin caäy laø bao nhieâu? trong khoaûng töø 24,82cm ñeán 27,93 cm. g) Neáu öôùc löôïng tæ leä nhöõng saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä tin caäy 96% vaø ñoä chính xaùc 8% thì caàn phaûi ñieàu tra theâm bao nhieâu saûn phaåm nöõa? b) Neáu öôùc löôïng GTTB cuûa X vôùi ñoä chính xaùc 1,8cm thì seõ ñaït ñöôïc ñoä h) Giaû söû trong kho ñeå laãn 1000 saûn phaåm cuûa xí nghieäp II vaø trong 100 tin caäy laø bao nhieâu? saûn phaåm laáy töø kho coù 9 saûn phaåm cuûa xí nghieäp II. Haõy öôùc löôïng soá Ñaây laø baøi toaùn xaùc ñònh ñoä tin caäy γ = 1- α khi öôùc löôïng kyø voïng cuûa saûn phaåm cuûa xí nghieäp I coù trong kho vôùi ñoä tin caäy 82%. chæ tieâu X vôùi ñoä chính xaùc ε = 1,8cm. Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc Lôøi giaûi cuûa öôùc löôïng: Laäp baûng S ε = zα n Xi 13 17 21 25 29 33 37 trong ñoù ϕ(zα) = γ /2. Suy ra ni 8 9 20 16 16 13 18 ε n 1, 8. 100 zα = = = 2, 41. S 7, 4827 Ta coù: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc ñoä tin caäy laø n = 100; ∑ X ini =2636; ∑X i 2 n i =75028. γ = 2ϕ(zα ) = 2ϕ(2, 41) = 2.0, 4920 = 98, 40%. • Kyø voïng maãu cuûa X laø Vaäy ñoä tin caäy ñaït ñöôïc laø 98,40%. 1 X= n ∑ X ini = 26, 36(cm). c) Neáu öôùc löôïng GTTB cuûa X vôùi ñoä chính xaùc 1,5cm vaø ñoä tin caäy 99% • Phöông sai maãu cuûa X laø: thì phaûi ñieàu tra theâm ít nhaát bao nhieâu saûn phaåm nöõa? 2 1 S = n ∑ X i2ni − X 2 =(7, 4452)2 (cm2 ). Ñaây laø baøi toaùn xaùc ñònh côõ maãu khi öôùc löôïng kyø voïng cuûa chæ tieâu X vôùi ñoä chính xaùc ε = 1,5cm vaø ñoä tin caäy γ = 1- α = 99% = 0,99. Vì n ≥ 30, • Phöông sai maãu ñaõ hieäu chænh cuûa X laø: σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng: S n 2 ε = zα , S2 = S = (7, 4827)2 (cm2 ). n n −1 trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,99/2 = 0,495. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc zα = 2,58. Suy ra 7 8Printed with FinePrint trial version – purchase at www.fineprint.com 2 ⎛z S⎞ trong ñoù tα ñöôïc xaùc ñònh töø baûng phaân phoái Student vôùi k = nB–1=16 k n=⎜ α ⎟ ⎝ ε ⎠ vaø α = 1 – γ = 1 – 0,98 = 0,02. Tra baûng phaân phoái Student ta ñöôïc Thöïc teá yeâu caàu: t α = 2, 583 . Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø: k 2 2 ⎛z S⎞ ⎛ 2, 58.7, 4827 ⎞ 2, 0580 2, 0580 n≥⎜ α ⎟ =⎜ ⎟ ≈ 165, 64. (15,1176 − 2, 583 ; 15,1176 + 2, 583 ) = (13, 83; 16, 41). ⎝ ε ⎠ ⎝ 1, 5 ⎠ 17 17 Giaù trò n nguyeân nhoû nhaát thoûa baát ñaúng thöùc treân laø n1 = 166. Vì n1 = Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 98%, giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X cuûa 166 > 100 (100 laø côõ maãu ñang coù) neân ta caàn ñieàu tra theâm ít nhaát laø nhöõng saûn phaåm loaïi B naèm trong khoaûng töø 13,83cm ñeán 16,41cm. 166 – 100 = 66 saûn phaåm nöõa. e) Haõy öôùc löôïng tæ leä nhöõng saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä tin caäy 92%. Baûng d) Nhöõng saûn phaåm coù chæ tieâu X töø 19cm trôû xuoáng ñöôïc goïi laø nhöõng soá lieäu treân ñöôïc choïn ngaãu nhieân töø moät kho trong ñoù coù 1000 saûn phaåm saûn phaåm loaïi B. Öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X cuûa nhöõng loaïi B. Haõy öôùc löôïng soá saûn phaåm trong kho vôùi ñoä tin caäy 92%. saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä tin caäy 98% (GS X coù phaân phoái chuaån). Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho tæ leä p caùc saûn phaåm loaïi B vôùi Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μB = M(XB) cuûa chæ tieâu ñoä tin caäy γ = 1- α = 92% = 0,92. Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng : X = XB cuûa nhöõng saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä tin caäy γ = 1- α = 98% = 0,98. Ta laäp baûng soá lieäu cuûa XB: Fn (1 − Fn ) F (1 − Fn ) (Fn − zα ; Fn + zα n ), n n XBi 13 17 trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,92/2 = 0,46. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta nBi 8 9 ñöôïc zα = 1,75. Maët khaùc, trong n =100 saûn phaåm coù m = 17 saûn phaåm Töø baûng treân ta tính ñöôïc: loaïi B neân tæ leä maãu saûn phaåm loaïi B laø Fn = 0,17. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø: nB = 17; ∑ X Bi nBi =257; ∑ X Bi 2 n Bi =3, 953. (0,17 − 1, 75 0,17(1 − 0,17) ; 0,17 + 1, 75 0,17(1 − 0,17) ) = (10, 43%; 23, 57%). 100 100 • Kyø voïng maãu cuûa XB laø Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 92%, tæ leä saûn phaåm loaïi B naèm trong 1 khoaûng töø 10,43% ñeán 23,57%. X B = ∑ X Bi nBi = 15,1176 (cm). n Khi trong kho coù 1000 saûn phaåm loaïi B, goïi N laø soá saûn phaåm coù trong • Phöông sai maãu cuûa XB laø: kho, ta coù tæ leä saûn phaåm loaïi B laø 1000/N. Theo keát quaû treân, vôùi ñoä tin ˆ2 1 caäy 92%, tæ leä caùc saûn phaåm loïai B töø 10,43% ñeán 23,57%, do ñoùù: SB = ∑ X Bi2n Bi − X B 2 =(1, 9965)2 (cm 2 ). n 1000 10,43 1000 23,57 • Phöông sai maãu ñaõ hieäu chænh cuûa XB laø: 10,43% ≤ ≤ 23,57% ⇔ ≤ ≤ N 100 N 100 100.1000 100.1000 nB 2 ⇔ ≤N≤ SB 2 = SB = (2, 0580) 2 (cm 2 ). 23,57 10, 430 nB − 1 ⇔ 4242, 68 ≤ N ≤ 9587,73 Vì nB Ñaây laø baøi toaùn xaùc ñònh ñoä tin caäy γ = 1- α khi löôïng tæ leä caùc saûn trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,82/2 = 0,41. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta phaåm loaïi B vôùi ñoä chính xaùc ε = 6% = 0,06. Ta coù coâng thöùc tính ñoä ñöôïc zα = 1,34. Maët khaùc, theo giaû thieát, trong n =100 saûn phaåm coù 9 chính xaùc cuûa öôùc löôïng: saûn phaåm cuûa xí nghieäp II töùc laø coù 91 saûn phaåm cuûa xí nghieäp I, neân tæ Fn (1 − Fn ) leä maãu saûn phaåm cuûa xí nghieäp I laø Fn = 91/100 = 0,91. Vaäy öôùc löôïng ε = zα , n khoaûng laø: trong ñoù ϕ(zα) = γ /2. Suy ra: 0, 91(1 − 0, 91) 0, 91(1 − 0, 91) (0, 91 − 1, 34 ; 0, 91 + 1, 34 ) = (87,17%; 94, 83%). n 100 100 100 zα = ε = 0, 06. = 1, 60. Fn (1 − Fn ) 0,17(1 − 0,17) Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 92%, tæ leä saûn phaåm cuûa xí nghieäp I naèm Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc ñoä tin caäy laø trong khoaûng töø 87,17% ñeán 94,83%. γ = 2ϕ(zα ) = 2ϕ(1, 60) = 2.0, 4452 = 89, 04%. Baây giôø goïi N laø soá saûn phaåm cuûa xí nghieäp I coù trong kho. Khi ñoù: – Toång soá saûn phaåm coù trong kho laø N + 1000ø. – Tæ leä saûn phaåm cuûa xí nghieäp I coù trong kho laø N/(N+1000). g) Neáu öôùc löôïng tæ leä nhöõng saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä tin caäy 96% vaø ñoä Theo keát quaû treân, vôùi ñoä tin caäy 82%, tæ leä saûn phaåm cuûa xí nghieäp I chính xaùc 8% thì caàn phaûi ñieàu tra theâm bao nhieâu saûn phaåm nöõa? coù trong kho naèm trong khoaûng töø 87,17% ñeán 94,83%, do ñoùù: Ñaây laø baøi toaùn xaùc ñònh côõ maãu khi öôùc löôïng tæ leä caùc saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä chính xaùc ε = 8% = 0,08 vaø ñoä tin caäy γ = 1- α = 96% = 0,96. Ta N N coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng: 87,17% ≤ ≤ 94,83% ⇔ 87,17% ≤ ≤ 94,83% N + 1000 N + 1000 1000 Fn (1 − Fn ) ⇔ 87,17% ≤ 1 − ≤ 94,83% ε = zα , N + 1000 n 1000 ⇔ 5,17% ≤ ≤ 12, 83% trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,96/2 = 0,48. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta N + 1000 ñöôïc zα = 2,06. Suy ra 1000 1000 ⇔ -1000 ≤ N ≤ -1000 z2 Fn (1 − Fn ) 12, 83% 5,17% n= α ε2 ⇔ 6794, 23 ≤ N ≤ 18342, 36 Thöïc teá yeâu caàu: ⇔ 6795 ≤ N ≤ 18342 z2 Fn (1 − Fn ) 2, 062.0,17(1 − 0,17) Vaäy vôùi ñoä tin caäy 82%, ta öôùc löôïng soá saûn phaåm cuûa xí nghieäp I coù n≥ α = ≈ 93, 56. trong kho naèm trong khoaûng töø 6795 ñeán 18342. ε2 0, 082 Giaù trò n nguyeân nhoû nhaát thoaû baát ñaúng thöùc treân laø n1 = 94. Vì n1 = Baøi 3.4. Ñeå khaûo saùt chieàu cao X cuûa moät gioáng caây troàng, ngöôøi ta quan 94 d) Nhöõng caây troàng coù chieàu cao töø 135cm trôû leân ñöôïc goïi laø nhöõng caây b) Neáu muoán öôùc löôïng chieàu cao trung bình cuûa gioáng caây troàng treân vôùi “cao”. Haõy öôùc löôïng tæ leä nhöõng caây “cao”vôùi ñoä tin caäy 95%. ñoä tin caäy 99% vaø ñoä chính xaùc 4cm thì caàn phaûi ñieàu tra theâm bao nhieâu e) Neáu öôùc löôïng tæ leä nhöõng nhöõng caây “cao” vôùi ñoä chính xaùc 10% thì caây nöõa? seõ ñaït ñöôïc ñoä tin caäy laø bao nhieâu? Ñaây laø baøi toaùn xaùc ñònh côõ maãu khi öôùc löôïng kyø voïng cuûa chæ tieâu X f) Neáu öôùc löôïng tæ leä nhöõng nhöõng caây “cao” vôùi ñoä tin caäy 95% vaø ñoä vôùi ñoä chính xaùc ε = 4cm vaø ñoä tin caäy γ = 99% = 0,99. chính xaùc 11% thì caàn phaûi ñieàu tra theâm bao nhieâu caây nöõa? Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc g) Öôùc löôïng chieàu cao trung bình cuûa caùc caây cao cuûa gioáng caây troàng cuûa öôùc löôïng: treân vôùi ñoä tin caäy 94%. S ε = zα , n Lôøi giaûi trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,99/2 = 0, 495. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta Ta coù: ñöôïc zα = 2,58. Suy ra 2 n = 100; ∑X n i i =13100; ∑X i 2 ni =1749000. ⎛z S⎞ n=⎜ α ⎟ . ⎝ ε ⎠ Thöïc teá yeâu caàu: 1 • Kyø voïng maãu cuûa X laø X = n ∑ X ini = 131(cm). ⎛z S⎞ n≥⎜ α ⎟ 2 ⎛ 2, 58.18, 2297 ⎞ 2 =⎜ ⎟ ≈ 138, 254. ⎝ ε ⎠ ⎝ 4 ⎠ • Phöông sai maãu cuûa X laø: ˆ2 1 Giaù trò n nguyeân nhoû nhaát thoûa baát ñaúng thöùc treân laø n1 = 139. Vì n1 = S = ∑ X 2n i − X 2 =(18,1384)2 (cm 2 ). n i 139 > 100 (100 laø côõ maãu ñang coù) neân ta caàn ñieàu tra theâm ít nhaát laø • Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa X laø: 139 – 100 = 39 caây nöõa. n ˆ2 S2 = S = (18, 2297)2 (cm 2 ). n −1 c) Neáu öôùc löôïng chieàu cao trung bình cuûa gioáng caây troàng treân vôùi ñoä chính xaùc 4,58cm thì seõ ñaït ñöôïc ñoä tin caäy laø bao nhieâu? a) Öôùc löôïng chieàu cao trung bình cuûa gioáng caây troàng treân vôùi ñoä tin Ñaây laø baøi toaùn xaùc ñònh ñoä tin caäy γ = 1- α khi öôùc löôïng kyø voïng cuûa caäy 96%. chæ tieâu X vôùi ñoä chính xaùc ε = 4,58cm. Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μ = M(X) vôùi ñoä tin caäy Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc γ = 1- α = 96% = 0,96. cuûa öôùc löôïng: Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng S ε = zα , cho kyø voïng: n S S trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 . Suy ra (X − zα ; X + zα ), n n ε n 4, 58. 100 trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,96/2 = 0,48. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta zα = = = 2, 5123. S 18, 2297 ñöôïc zα = 2,06. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc ñoä tin caäy laø γ = 2ϕ(zγ ) = 2ϕ(2, 5123) = 2ϕ(2, 52) = 2.0, 4941 = 98, 82%. 18, 2297 18, 2297 (131 − 2, 06 ; 131 + 2, 06 ) = (127, 2447; 134, 7553). 100 100 d) Nhöõng caây troàng coù chieàu cao töø 135cm trôû leân ñöôïc goïi laø nhöõng caây Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 96%, chieàu cao trung bình cuûa moät caây naèm “cao”. Haõy öôùc löôïng tæ leä nhöõng caây “cao”vôùi ñoä tin caäy 95%. trong khoaûng töø 127,2447cm ñeán 134,7553cm. Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho tæ leä p caùc caây cao vôùi ñoä tin caäy γ = 1- α = 95% = 0,95. Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng : 13 14Printed with FinePrint trial version – purchase at www.fineprint.com Fn (1 − Fn ) Fn (1 − Fn ) Giaù trò n nguyeân nhoû nhaát thoaû baát ñaúng thöùc treân laø n1 = 73. Vì n1 = (Fn − zα ; Fn + zα ), n n 73 30, σ2C = D(XC) chöa bieát, neân ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng: γ = 2ϕ(zα ) = 2ϕ(2, 0966) = 2ϕ(2,1) = 2.0, 4821 = 96, 42%. SC SC (X C − zα ; X C + zα ), nC nC f) Neáu öôùc löôïng tæ leä nhöõng nhöõng caây “cao” vôùi ñoä tin caäy 95% vaø ñoä trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,94/2 = 0,47. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta chính xaùc 11% thì caàn phaûi ñieàu tra theâm bao nhieâu caây nöõa? ñöôïc zα = 1,88. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø: Ñaây laø baøi toaùn xaùc ñònh côõ maãu khi öôùc löôïng tæ leä caây cao vôùi ñoä 8, 4515 8, 4515 chính xaùc ε = 11% = 0,11 vaø ñoä tin caäy γ = 1- α = 95% = 0,95. (151, 4286 − 1, 88 ; 151, 4286 + 1, 88 ) = (148, 74; 154,11). 35 35 Ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng: Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 94%, chieàu cao trung bình cuûa caây cao naèm Fn (1 − Fn ) ε = zα , trong khoaûng töø 148,74cm ñeán 154,11cm. n trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,95/2 = 0,475.

Xem thêm: quy định số 57-qđ/tw ngày 3/5/2007 của bộ chính trị về bảo vệ chính trị nội bộ đảng

Xem thêm: Giáo Án Kỹ Năng Sống Lớp 8 Có Tích Hợp Kỹ Năng Sống, Giáo Án Kỹ Năng Sống Lớp 8

Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta Baøi 3.5. Traùi caây cuûa moät chuû haøng ñöôïc ñöïng trong caùc soït, moãi soït 100 ñöôïc zα = 1,96. Suy ra 2 traùi. Ngöôøi ta kieåm tra 50 soït thì thaáy coù 450 traùi khoâng ñaït tieâu chuaån. zα Fn (1 − Fn ) n= . a) Öôùc löôïng tæ leä traùi khoâng ñaït tieâu chuaån cuûa loâ haøng treân vôùi ñoä tin ε2 caäy 95%. Thöïc teá yeâu caàu: b) Neáu muoán öôùc löôïng tæ leä traùi khoâng ñaït tieâu chuaån vôùi ñoä chính xaùc z2 Fn (1 − Fn ) 1, 962.0, 35(1 − 0, 35) n≥ α = ≈ 72, 23. 0,5% thì seõ ñaït ñöôïc ñoä tin caäy laø bao nhieâu? ε2 0,112 15 16Printed with FinePrint trial version – purchase at www.fineprint.com c) Neáu muoán öôùc löôïng tæ leä traùi khoâng ñaït tieâu chuaån vôùi ñoä chính xaùc 1% vaø ñoä tin caäy 99% thì phaûi ñieàu tra theâm ít nhaát bao nhieâu soït nöõa? c) Neáu muoán öôùc löôïng tæ leä traùi khoâng ñaït tieâu chuaån vôùi ñoä chính xaùc 1% vaø ñoä tin caäy 99% thì phaûi ñieàu tra theâm ít nhaát bao nhieâu soït nöõa? Lôøi giaûi Yeâu caàu cuûa baøi toùan: Xaùc ñònh côõ maãu. Giaû thieát: – Öôùc khoûang cho tæ leä traùi khoâng ñaït tieâu chuaån. Soá traùi trong 100 soït laø 50×100 = 5000. Do ñoù: – Ñoä chính xaùc ε = 1% = 0,01. • Côõ maãu n = 5000. – Ñoä tin caäy γ = 1- α = 99% = 0,99. • Soá traùi khoâng ñaït tieâu chuaån laø: m = 450. • Tæ leä maãu caùc traùi khoâng ñaït tieâu chuaån laø: Ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng: Fn = m/n = 450/5000 = 0,09. Fn (1 − Fn ) ε = zα n a) Öôùc löôïng tæ leä traùi khoâng ñaït tieâu chuaån cuûa loâ haøng treân vôùi ñoä tin trong ñoù ϕ(zα) = (1- α) /2 = 0,99/2 = 0,495. Tra baûng giaù trò haøm Laplace caäy 95%. ta ñöôïc zα = 2,58. Suy ra Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho tæ leä p caùc traùi khoâng ñaït tieâu z2 Fn (1 − Fn ) n= α chuaån vôùi ñoä tin caäy γ = 1- α = 95% = 0,95. ε2 Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng: Thöïc teá yeâu caàu: z2 Fn (1 − Fn ) 2, 582.0, 09(1 − 0, 09) n≥ α = ≈ 5451,6. Fn (1 − Fn ) F (1 − Fn ) ε2 0, 012 (Fn − zα ; Fn + zα n ) n n Giaù trò n nguyeân nhoû nhaát thoaû baát ñaúng thöùc treân laø n1 = 5452. trong ñoù ϕ (zα) = (1- α)/2 = γ /2 = 0,95/2 = 0,475. Tra baûng giaù trò haøm Vì n1 = 5452 > 5000 (5000 laø côõ maãu ñang coù) neân ta caàn ñieàu tra theâm Laplace ta ñöôïc zα = 1,96. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø: ít nhaát laø 5452 – 5000 = 452 traùi, nghóa laø khoaûng 5 soït nöõa. 0, 09(1 − 0, 09) 0, 09(1 − 0, 09) (0, 09 − 1, 96 ; 0, 09 + 1, 96 ) = (8, 21%; 9, 79%) . 5000 5000 Baøi 3.6. Ñeå nghieân cöùu nhu caàu cuûa moät loaïi haøng ôû moät khu vöïc, ngöôøi Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 95%, tæ leä traùi khoâng ñaït tieâu chuaån töø ta khaûo saùt 400 hoä gia ñình. Keát quaû nhö sau: 8,21% ñeán 9,79%. Nhu caàu (kg/thaùng/hoä) 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 b) Neáu muoán öôùc löôïng tæ leä traùi khoâng ñaït tieâu chuaån vôùi ñoä chính xaùc Soá hoä 10 35 86 132 78 31 18 10 0,5% thì seõ ñaït ñöôïc ñoä tin caäy laø bao nhieâu? Cho bieát trong khu vöïc coù 4000 hoä. a) Öôùc löôïng nhu caàu trung bình veà maët haøng naøy cuûa toaøn khu vöïc trong Yeâu caàu cuûa baøi toùan: Xaùc ñònh ñoä tin caäy γ = 1- α. moät naêm vôùi ñoä tin caäy 95%. Giaû thieát: – Öôùc khoûang cho tæ leä traùi khoâng ñaït tieâu chuaån. b) Khi öôùc löôïng nhu caàu trung bình veà maët haøng naøy cuûa toaøn khu vöïc – Ñoä chính xaùc ε = 0,5% = 0,005. trong moät naêm, neáu ta muoán ñaït ñöôïc ñoä tin caäy 99% vaø ñoä chính xaùc laø Ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng: 4,8taán thì caàn khaûo saùt ôû ít nhaát bao nhieâu hoä gia ñình? Fn (1 − Fn ) ε = zα n Lôøi giaûi trong ñoù ϕ (zα) = γ /2 . Suy ra n 5000 Goïi X(kg) laø nhu caàu cuûa moät hoä veà loaïi haøng treân trong moät thaùng. Ta coù: zα = ε = 0, 005. = 1, 24. Fn (1 − Fn ) 0, 09(1 − 0, 09) Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc ñoä tin caäy laø: Xi 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 γ = 2ϕ(zα ) = 2ϕ(1, 24) = 2.0, 3925 = 79, 5%. ni 10 35 86 132 78 31 18 10 Vaäy ñoä tin caäy ñaït ñöôïc laø 79,5%. 17 18Printed with FinePrint trial version – purchase at www.fineprint.com n = 400; ∑X ni i =1448; ∑X i 2 n i = 6076. trong moät thaùng vôùi ñoä tin caäy γ = 1- α = 0,99 vaø ñoä chính xaùc ε = 4800/(4000×12) = 0,1kg. Nhö vaäy, ta ñöa veà baøi toaùn xaùc ñònh côõ maãu 1 khi öôùc löôïng kyø voïng cuûa chæ tieâu X vôùi ñoä chính xaùc ε = 0,1 vaø ñoä tin • Kyø voïng maãu cuûa X laø X = n ∑ X in i = 3, 62. caäy γ = 1- α = 99% = 0,99. • Phöông sai maãu cuûa X laø: Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc ˆ2 1 cuûa öôùc löôïng: S = ∑ X 2n i − X 2 =(1, 4442)2 . n i S ε = zα , • Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa X laø: n n ˆ2 trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,99/2 = 0, 495. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta S2 = S = (1, 4460)2 . n −1 ñöôïc zα = 2,58. Suy ra a) Öôùc löôïng nhu caàu trung bình veà maët haøng naøy cuûa toaøn khu vöïc trong 2 ⎛z S⎞ moät naêm vôùi ñoä tin caäy 95%. n=⎜ α ⎟ . ⎝ ε ⎠ Tröôùc heát ta öôùc löôïng nhu caàu trung bình veà maët haøng naøy cuûa moät Thöïc teá yeâu caàu: hoä trong khu vöïc trong moät thaùng vôùi ñoä tin caäy 95%. 2 2 ⎛z S⎞ ⎛ 2, 58 × 1, 4460 ⎞ Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μ = M(X) vôùi ñoä tin caäy n≥⎜ α ⎟ =⎜ ⎟ ≈ 1391, 8. ⎝ ε ⎠ ⎝ 0,1 ⎠ γ = 1- α = 95% = 0,95. Giaù trò n nguyeân nhoû nhaát thoûa baát ñaúng thöùc treân laø n1 = 1392. Vaäy Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng caàn khaûo saùt ít nhaát laø 1392 hoä gia ñình. cho kyø voïng: S S (X − zα ; X + zα ), n n Baøi 3.7. Ñeå bieát soá löôïng caù trong hoà lôùn ngöôøi ta baét leân 2000 con ñaùnh trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,95/2 = 0,475. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta daáu xong roài thaû chuùng xuoáng hoà. Sau ñoù ngöôøi ta baét leân 400 con vaø thaáy ñöôïc zα = 1,96. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø: coù 80 con ñöôïc ñaùnh daáu. 1, 4460 1, 4460 a) Vôùi ñoä tin caäy 95%, haõy öôùc löôïng soá caù coù trong hoà. (3, 62 − 1, 96 ; 3, 62 + 1, 96 ) = (3, 4783; 3, 7617). b) Öôùc löôïng soá caù toái ña coù trong hoà vôùi ñoä tin caäy 96%. 400 400 Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 95%, nhu caàu trung bình veà maët haøng naøy c) Öôùc löôïng soá caù toái thieåu coù trong hoà vôùi ñoä tin caäy 94%. cuûa moät hoä trong khu vöïc trong moät thaùng naèm trong khoaûng töø 3,4783kg ñeán 3,7617kg. Xeùt 4000 hoä trong moät naêm 12 thaùng, ta coù caùc Lôøi giaûi nhu caàu töông öùng laø: 3,4783×4000×12 = 166958,4kg = 166,9584taán; Goïi N laø soá caù coù trong hoà. Khi ñoù tæ leä caù ñöôïc ñaùnh daáu coù trong hoà 3,7617×4000×12 = 180561,6kg = 180,5616taán. laø p = 2000/N. Keát luaän: Vôùi ñoä tin caäy 95%, nhu caàu trung bình veà maët haøng naøy cuûa Vôùi maãu thu ñöôïc, ta coù: toaøn khu vöïc trong moät naêm naèm trong khoaûng töø 166,9584taán ñeán • Côõ maãu n = 400. 180,5616taán. • Soá con ñöôïc ñaùnh daáu trong maãu laø: m = 80. • Tæ leä maãu con ñöôïc ñaùnh daáu laø: b) Khi öôùc löôïng nhu caàu trung bình veà maët haøng naøy cuûa toaøn khu vöïc Fn = m/n = 80/400 = 0,2. trong moät naêm, neáu ta muoán ñaït ñöôïc ñoä tin caäy 99% vaø ñoä chính xaùc laø 4,8taán thì caàn khaûo saùt ôû ít nhaát bao nhieâu hoä gia ñình? a) Vôùi ñoä tin caäy 95%, haõy öôùc löôïng soá caù coù trong hoà. Tröôùc heát ta öôùc löôïng khoaûng cho tæ leä p caùc con ñöôïc ñaùnh daáu vôùi Khi öôùc löôïng nhu caàu trung bình veà maët haøng naøy cuûa toaøn khu vöïc ñoä tin caäy γ = 1- α = 95% = 0,95. trong moät naêm vôùi ñoä tin caäy 99% vaø ñoä chính xaùc laø 4,8 taán= 4800kg, Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng: nghóa laø ta öôùc löôïng nhu caàu trung bình veà maët haøng naøy cuûa moät hoä 19 20Printed with FinePrint trial version – purchase at www.fineprint.com Fn (1 − Fn ) F (1 − Fn ) trong ñoù ϕ(z2α) = (1- 2α)/2 = γ/2 = 0,88/2 = 0,44. Tra baûng giaù trò haøm (Fn − zα ; Fn + zα n ), n n Laplace ta ñöôïc z2α = 1,56. Suy ra giaù trò toái ña cuûa tæ leä con ñöôïc ñaùnh trong ñoù ϕ(zα) = (1- α)/2 = γ /2 = 0,95/2 = 0,475. Tra baûng giaù trò haøm daáu laø: Laplace ta ñöôïc zα = 1,96. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø: Fn (1 − Fn ) 0, 2(1 − 0, 2) Fn + z2α = 0, 2 + 1, 56 = 0, 2312. 0, 2(1 − 0, 2) 0, 2(1 − 0, 2) n 400 (0, 2 − 1, 96 ; 0, 2 + 1, 96 ) = (16, 08%; 23, 92%) 400 400 Nhö vaäy, vôùi ñoä tin caäy 94%, ta coù Nhö vaäy, vôùi ñoä tin caäy 95%, tæ leä con ñöôïc ñaùnh daáu naèm trong khoaûng 2000 2000 ≤ 0,2312 ⇔ N ≥ = 8650,5 töø 16,08% ñeán 23,92%, do ñoùù: N 0, 2312 Vaäy vôùi ñoä tin caäy 94%, soá caù toái thieåu coù trong hoà laø 8651. 2000 2000 2000 16,08% ≤ ≤ 23,92% ⇔ ≤N≤ N 23, 92% 16, 08% Baøi 3.8. Tröôùc kyø baàu cöû toång thoáng ngöôøi ta phoûng vaán ngaãu nhieân 1800 ⇔ 8361,20 ≤ N ≤ 12437,81 cöû tri thì thaáy coù 1180 ngöôøi uûng hoä cöû tri A. Vôùi ñoä tin caäy 99%, hoûi öùng ⇔ 8362 ≤ N ≤ 12437 cöû vieân A coù theå thu ñöôïc toái thieåu bao nhieâu phaàn traêm soá phieáu baàu? Vaø Vaäy vôùi ñoä tin caäy 95%, ta öôùc löôïng soá caù coù trong hoà khoaûng töø 8362 toái ña laø bao nhieâu? ñeán 12437 con. Lôøi giaûi b) Öôùc löôïng soá caù toái ña coù trong hoà vôùi ñoä tin caäy 96%. Soá caù toái ña coù trong hoà töôg öùng vôùi giaù trò toái thieåu cuûa tæ leä con ñöôïc Vôùi maãu thu ñöôïc, ta coù: ñaùnh daáu. Do ñoù tröôùc heát ta öôùc löôïng khoaûng beân phaûi cho tæ leä p caùc • Côõ maãu n = 1800. con ñöôïc ñaùnh daáu vôùi ñoä tin caäy γ = 1- α = 96% = 0,96 (α = 0,04). • Soá ngöôøi uûng hoä öùng cöû vieân A laø m = 1180. Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng beân phaûi: • Tæ leä maãu soá ngöôøi uûng hoä laø: Fn = m/n = 1180/1800 = 0.6556. Fn (1 − Fn ) (Fn − z2α ; +∞) n Vôùi ñoä tin caäy 99%, ñeå bieát öùng cöû vieân A coù theå thu ñöôïc toái thieåu bao trong ñoù ϕ(z2α) = (1- 2α)/2 = γ /2 = 0,92/2 = 0,46. Tra baûng giaù trò haøm nhieâu phaàn traêm soá phieáu baàu ta caàn öôùc löôïng khoaûng beân phaûi cho tæ leä Laplace ta ñöôïc z2α = 1,75. Suy ra giaù trò toái thieåu cuûa tæ leä con ñöôïc ñaùnh p nhöõng ngöôøi uûng hoä vôùi ñoä tin caäy γ = 1- α = 99% = 0,99 (α = 0,01). daáu laø: Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng beân phaûi: Fn (1 − Fn ) 0, 2(1 − 0, 2) Fn (1 − Fn ) Fn − z2α = 0, 2 − 1,75 = 0,165. (Fn − z2α ; +∞) n 400 n Nhö vaäy, vôùi ñoä tin caäy 96%, ta coù trong ñoù ϕ(z2α) = (1- 2α)/2 = γ /2 = 0,98/2 = 0,49. Tra baûng giaù trò haøm 2000 2000 Laplace ta ñöôïc z2α = 2,33. Suy ra giaù trò toái thieåu cuûa tæ leä ngöôøi uûng hoä ≥ 0,165 ⇔ N ≤ = 12121, 2 N 0,165 laø: Vaäy vôùi ñoä tin caäy 96%, soá caù toái ña coù trong hoà laø 12121. Fn (1 − Fn ) 0, 6556(1 − 0, 6556) Fn − z2α = 0, 6556 − 2, 33 = 0,6295. c) Öôùc löôïng soá caù toái thieåu coù trong hoà vôùi ñoä tin caäy 94%. n 1800 Soá caù toái thieåu coù trong hoà töông öùng vôùi giaù trò toái ña cuûa tæ leä con Nhö vaäy, vôùi ñoä tin caäy 99%, öùng cöû vieân A coù theå thu ñöôïc toái thieåu laø ñöôïc ñaùnh daáu. Do ñoù tröôùc heát ta öôùc löôïng khoaûng beân traùi cho tæ leä p 62,95% soá phieáu baàu. caùc con ñöôïc ñaùnh daáu vôùi ñoä tin caäy γ = 1- α = 94% = 0,94 (α = 0,06). Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng beân traùi: Vôùi ñoä tin caäy 99%, ñeå bieát öùng cöû vieân A coù theå thu ñöôïc toái ña bao Fn (1 − Fn ) nhieâu phaàn traêm soá phieáu baàu ta caàn öôùc löôïng khoaûng beân traùi cho tæ leä (−∞; Fn + z2α ), n p nhöõng ngöôøi uûng hoä vôùi ñoä tin caäy γ = 1- α = 99% = 0,99 (α = 0,01). Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng beân traùi: 21 22Printed with FinePrint trial version – purchase at www.fineprint.com Fn (1 − Fn ) a) Öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa tyû leä thu nhaäp chi cho giaùo duïc cuûa (−∞; Fn + z2α ), n moät hoä gia ñình vôùi ñoä tin caäy 95% . trong ñoù z2α = 2,33. Suy ra giaù trò toái ña cuûa tæ leä ngöôøi uûng hoä laø: Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μ = M(X) vôùi ñoä tin caäy Fn (1 − Fn ) 0, 6556(1 − 0, 6556) γ = 1- α = 95% = 0,95. Fn + z2α = 0, 6556 + 2, 33 = 0,6817. n 1800 Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng Nhö vaäy, vôùi ñoä tin caäy 99%, öùng cöû vieân A coù theå thu ñöôïc toái ña laø cho kyø voïng: 68,17% soá phieáu baàu. SX SX (X − zα ; X + zα ), n n Baøi 3.9. Khaûo saùt thu nhaäp vaø tyû leä thu nhaäp chi cho giaùo duïc ôû 350 hoä trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,95/2 = 0,475. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta gia ñình, ta thu ñöôïc caùc soá lieäu ôû baûng sau: ñöôïc zα = 1,96. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø: X 10 20 30 40 50 8, 7910 8, 7910 (29, 7143 − 1, 96 ; 29, 7143 + 1, 96 ) = (28,7933;30,6353). Y 350 350 150 – 250 10 40 20 Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 95%, giaù trò trung bình cuûa tyû leä thu nhaäp 250 – 350 40 60 20 chi cho giaùo duïc cuûa moät hoä gia ñình töø 28,7933% ñeán 30,6353%. 350 – 450 20 30 40 450 – 550 30 30 10 b) Nhöõng gia ñình coù thu nhaäp bình quaân ngöôøi treân 450 laø hoä coù thu nhaäp cao. Öôùc löôïng tyû leä hoä coù thu nhaäp cao vôùi ñoä tin caäy 97%. trong ñoù : X laø tyû leä thu nhaäp chi cho giaùo duïc (tính theo %) Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho tæ leä p caùc hoä coù thu nhaäp cao Y laø thu nhaäp bình quaân 1 ngöôøi/thaùng cuûa moät hoä (ñôn vò tính vôùi ñoä tin caäy γ = 1- α = 97% = 0,97. ngaøn ñoàng). Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng : a) Öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa tyû leä thu nhaäp chi cho giaùo duïc cuûa moät hoä gia ñình vôùi ñoä tin caäy 95% . Fn (1 − Fn ) F (1 − Fn ) b) Nhöõng gia ñình coù thu nhaäp bình quaân ngöôøi treân 450 laø hoä coù thu (Fn − zα ; Fn + zα n ) n n nhaäp cao. Öôùc löôïng tyû leä hoä coù thu nhaäp cao vôùi ñoä tin caäy 97%. trong ñoù ϕ(zα) = (1- α)/2 = γ /2 = 0,97/2 = 0,485. c) Ñeå öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa tyû leä thu nhaäp chi cho giaùo duïc vôùi • Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc zα = 2,17. ñoä chính xaùc ε = 0,8% thì ñaûm baûo ñoä tin caäy laø bao nhieâu? • Côõ maãu n = 350. • Trong n = 350 hoä coù m = 30 + 30 + 10 = 70 hoä coù thu nhaäp bình Lôøi giaûi quaân ngöôøi treân 450 neân coù m = 70 hoä coù thu nhaäp cao. Do ñoù tæ leä maãu hoä coù thu nhaäp cao laø: • Côõ maãu: n = 350. Fn = m/n = 70/350 = 0,2. • Kyø voïng maãu cuûa X laø Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø: 1 X= n ∑ X in Xi = 29,7143. 0, 2(1 − 0, 2) 0, 2(1 − 0, 2) • Phöông sai maãu cuûa X laø: (0, 2 − 2,17 ; 0, 2 + 2,17 ) = (15, 36%; 24, 64%). . 350 350 Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 97%, tæ leä hoä coù thu nhaäp cao töø 15,36% ñeán 2 1 SX = n ∑ X i2n Xi − X 2 =(8,7785)2 . 24,64%. • Phöông sai maãu ñaõ hieäu chænh cuûa X laø: c) Ñeå öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa tyû leä thu nhaäp chi cho giaùo duïc vôùi ñoä chính xaùc ε = 0,8% thì ñaûm baûo ñoä tin caäy laø bao nhieâu? n 2 S2 = X S X = (8,7910) 2 . n −1 Yeâu caàu cuûa baøi toùan: Xaùc ñònh ñoä tin caäy γ = 1- α. 23 24Printed with FinePrint trial version – purchase at www.fineprint.com Giaû thieát: – Öôùc khoûang cho kyø voïng cuûa X. Fn = m/n = 27/134 = 0,2015. – Ñoä chính xaùc ε = 0,8 (%). Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng: Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng: Fn (1 − Fn ) Fn (1 − Fn ) (Fn − zα ; Fn + zα ) S n n ε = zα , n trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,95/2 = 0,475. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta trong ñoù ϕ (zα) = (1- α)/2 = γ /2 . Suy ra ñöôïc zα = 1,96. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø: ε n 0, 8. 350 0, 2015(1 − 0, 2015) 0, 2015(1 − 0, 2015) zα = = = 1,70 (0, 2015 − 1, 96 ; 0, 2015 + 1, 96 ) S 8,7910 134 134 = (0,1336; 0, 2694) = (13, 36%; 26, 94%). Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc ñoä tin caäy laø: γ = 2ϕ(zα ) = 2ϕ(1, 70) = 2.0, 4554 = 91, 08%. Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 95%, tæ leä saûn phaåm loaïi A töø 13,36% ñeán Vaäy ñoä tin caäy ñaït ñöôïc laø 91,08%. 26,94%. b) Öôùc löôïng giaù trò trung bình chæ tieâu Y cuûa nhöõng saûn phaåm loaïi A vôùi Baøi 3.10. X(%) vaø Y(kg/mm2 ) laø hai chæ tieâu chaát löôïng cuûa moät loaïi saûn ñoä tin caäy 95% (Giaû söû Y coù phaân phoái chuaån). phaåm. Quan saùt moät soá saûn phaåm ta coù baûng soá lieäu nhö sau: X 0-5 5-10 10-15 15-20 20-25 Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μYA = M(YA) cuûa chæ Y tieâu Y = YA cuûa nhöõng saûn phaåm loaïi A vôùi ñoä tin caäy γ = 1- α = 95% = 120 7 0,95. 130 12 8 10 Ta laäp baûng soá lieäu cuûa YA: 140 20 15 2 150 19 16 9 5 YAi 140 150 160 160 8 3 nAi 2 14 11 Saûn phaåm coù chæ tieâu X ≥ 15% laø loaïi A. Töø baûng treân ta tính ñöôïc: a) Öôùc löôïng tæ leä saûn phaåm loaïi A ñoä tin caäy 95%. b) Öôùc löôïng giaù trò trung bình chæ tieâu Y cuûa nhöõng saûn phaåm loaïi A vôùi ñoä tin caäy 95% (Giaû söû Y coù phaân phoái chuaån). n A = 27; ∑Y Ai n Ai =4140; ∑Y Ai 2 n Ai =635800. c) Neáu muoán öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu Y vôùi ñoä chính • Kyø voïng maãu cuûa YA laø 1 xaùc 1,6 kg/mm2 thì seõ ñaûm baûo ñöôïc ñoä tin caäy laø bao nhieâu? YA = n ∑ YAin Ai = 153, 3333. • Phöông sai maãu cuûa YA laø: Lôøi giaûi 2 1 2 a) Öôùc löôïng tæ leä saûn phaåm loaïi A ñoä tin caäy 95%. S YA = n ∑ YAi2n Ai − Y A =(6, 0858)2 . Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho tæ leä p caùc saûn phaåm loaïi A vôùi • Phöông sai maãu ñaõ hieäu chænh cuûa YA laø: ñoä tin caäy γ = 1- α = 95% = 0,95. Töø baûng soá lieäu ñaõ cho ta tính ñöôïc: nA 2 • Côõ maãu: n = 134. S2 = YA S YA = (6, 2017)2 . nA − 1 • Trong n = 134 saûn phaåm coù m = 2 + 9 + 8 + 5 + 3 = 27 saûn phaåm coù chæ tieâu X ≥ 15% neân coù m = 27 saûn phaåm loaïi A. Do ñoù tæ leä maãu Vì nA S YA k S (Y A − t α k ; Y A + t α YA ) , nA nA trong ñoù tα ñöôïc xaùc ñònh töø baûng phaân phoái Student vôùi k = nA–1=26 k vaø α = 1- γ = 1–0,95 = 0,05. Tra baûng phaân phoái Student ta ñöôïc t α = 2, 056 . Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø: k 6, 2017 6, 2017 (153, 3333 − 2, 056 ; 153, 3333 + 2, 056 ) = (150, 8794; 155, 7872). 27 27 Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 95%, giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu Y cuûa nhöõng saûn phaåm loaïi A töø 150,8794kg/mm2 ñeán 155,7872kg/mm2. c) Neáu muoán öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu Y vôùi ñoä chính xaùc 1,6 kg/mm2 thì seõ ñaûm baûo ñöôïc ñoä tin caäy laø bao nhieâu? Ñaây laø baøi toaùn xaùc ñònh ñoä tin caäy γ = 1- α khi öôùc löôïng kyø voïng cuûa chæ tieâu Y vôùi ñoä chính xaùc ε = 1,6kg/mm2. Töø baûng soá lieäu ñaõ cho ta tính ñöôïc: • Côõ maãu: n = 134. • Kyø voïng maãu cuûa Y laø 1 Y= n ∑ Yjn Yj = 142, 0149. • Phöông sai maãu cuûa Y laø: 2 1 SY = n ∑ Yi2n Yi − Y 2 =(10, 4224)2 . • Phöông sai maãu ñaõ hieäu chænh cuûa Y laø: n 2 S2 = Y SY = (10, 4615)2 . n −1 Vì n ≥ 30, σ2Y= D(Y) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng: SY ε = zα , n trong ñoù ϕ(zα) = γ /2. Suy ra ε n 1, 6. 134 zα = = = 1, 77 SY 10, 4615 Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc ñoä tin caäy laø: γ = 2ϕ(zα ) = 2ϕ(1, 77) ≈ 2.0, 4646 = 92, 92%. Vaäy ñoä tin caäy ñaït ñöôïc laø 92,92%. —————————————– 27Printed with FinePrint trial version – purchase at www.fineprint.com

Viết một bình luận